Los fluidos como el agua, el aire o la lava de un volcán esconden trayectorias imprevisibles, según un estudio de la UPC

El resultado, obtenido estableciendo un puente entre la geometría cosimpléctica, el análisis y la computación, revela una nueva cara de las ecuaciones de Navier-Stokes, propuestas por el Clay Mathematics Institute como uno de los Problemas del Milenio

Durante más de dos siglos, la ciencia ha soñado con un universo perfectamente predecible. El 'demonio de Laplace', formulado en 1814 por el matemático y astrónomo francés Pierre-Simon Laplace, sugería que si alguien pudiera conocer las propiedades iniciales de las partículas de la naturaleza y las leyes que las rigen, podría calcular el futuro con absoluta exactitud. Sin embargo, el matemático Alan Turing desmontó esta visión en el ámbito de la computación con el 'problema de la parada', demostrando que no existe ningún método general que permita determinar, solo a partir de los datos iniciales, si un ordenador dejará de funcionar o no.

Cuando los fluidos pueden 'pensar'

Ahora, un estudio liderado por la Universitat Politècnica de Catalunya - BarcelonaTech (UPC) y el ICMAT del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC), publicado en la revista científica PNAS Nexus, ha demostrado que en sistemas como los fluidos viscosos también pueden aparecer trayectorias indecidibles. Es decir, al igual que en la computación, existen situaciones en las que, ni siquiera conociendo las ecuaciones que gobiernan el sistema, no se puede predecir el comportamiento futuro de algunas partículas del fluido.

El resultado se basa en las ecuaciones de Navier-Stokes, utilizadas para describir el movimiento de los fluidos. El estudio demuestra que existen soluciones estacionarias de estas ecuaciones que pueden simular una 'máquina de Turing universal' (modelo computacional introducido por Alan Turing), o dicho de otra forma, pueden reproducir cualquier cálculo.

Para explicar este fenómeno, la profesora de la Facultad de Matemáticas y Estadística (FME) de la UPC e investigadora ICREA Academia Eva Miranda, del grupo de investigación en Geometría de Variedades y Aplicaciones (GEOMVAP), recurre a un caso real que se ha convertido en emblemático en el ámbito de la oceanografía: el de los patitos de goma que en 1992 se perdieron por el océano Pacífico después de caer accidentalmente de un buque de carga. "Se había previsto que muchos llegarían a las costas de Inglaterra en el 2007, pero muchos nunca llegaron. Es como si hubieran entrado en una 'zona sin cobertura', ya no podemos saber si llegarán o no al destino final. Nosotros hemos encontrado una posible explicación: hay trayectorias que en un punto determinado se vuelven imprevisibles. La matemática, simplemente pierde el hilo”.

Mediante un puente entre la geometría cosimpléctica (tridimensional), el análisis matemático y la teoría de la computación, se ha demostrado que cuando una partícula atraviesa un campo de velocidad armónico, su trayectoria puede ser tan compleja que seguir el recorrido equivale a ejecutar los cálculos en un ordenador.

"Imaginemos una gota de tinta que cae sobre la superficie del mar en calma. El hilo delgado y sinuoso que dibuja mientras se hunde corresponde a una secuencia de ceros y unos, es una cinta de cálculo como las que utilizan los ordenadores. Mientras la tinta desciende y el fluido la transforma en formas cada vez más complejas, el agua estaría ‘computando’, es decir, resolviendo problemas procesando información, ejecutando instrucciones... Esto significa que un fluido podría llegar a realizar cualquier cálculo que puede hacer un ordenador: calcular el IPC, resolver una partida de ajedrez o descifrar un mensaje encriptado”, explica Miranda.

Además, se ha comprobado que determinar si una partícula del fluido va a atravesar una región determinada, en estos sistemas que simulan los cálculos de cualquier ordenador, es equivalente al 'problema de la parada' de Turing. "Turing demostró que no existe ningún método general que nos permita saber si ocurrirá o no, que es un problema indecidible. Por tanto, saber si una partícula llegará a un espacio concreto o no también es, en general, un problema indecidible" afirma la investigadora.

El trabajo del equipo de Eva Miranda ha demostrado que estas soluciones estacionarias pueden aparecer en todos los valores de la viscosidad y que, por tanto, este comportamiento puede producirse tanto en fluidos poco viscosos, como el agua o el aire, como en fluidos más viscosos, como la lava de un volcán.

Los resultados del trabajo revelan una nueva cara de las ecuaciones de Navier-Stokes, propuestas por el Clay Mathematics Institute como uno de los Problemas del Milenio: “Incluso en sistemas gobernados por leyes deterministas y bien conocidas, como son los fluidos con las ecuaciones de Navier-Stokes, hay preguntas que no se pueden responder. No porque nos falte información sino porque la naturaleza misma del problema lo impide", concluye Miranda. Este hecho, al mismo tiempo, sugiere la idea de que los fluidos no son sólo un objeto de estudio clásico de la física, sino también un escenario en el que se manifiestan los límites fundamentales del conocimiento y la predicción.

Una pregunta que ha llevado de cabeza a científicos reconocidos

En su libro La nueva mente del emperador, el físico y matemático Roger Penrose, Premio Nobel de Física, planteaba un enigma: ¿existen límites fundamentales en la capacidad de los sistemas físicos para computar? ¿Puede pensar la naturaleza misma? El informático, físico y matemático Cris Moore agudizó esta intuición en 1991 formulándola de forma directa: ¿podrían computar los fluidos?

El matemático Terence Tao, medallista Fields, recogió el guante con una idea aún más audaz. Si los fluidos viscosos pueden simular una 'máquina de Turing', quizás se pueden diseñar condiciones iniciales que lleven al fluido hasta el extremo: un blow-up, es decir, la aparición repentina de singularidades, un colapso de la regularidad en tiempo finito. Y, si esto fuera posible, Tao habría resuelto uno de los siete Problemas del Milenio, que lleva asociado un premio de un millón de dólares.

Ha sido precisamente este planteamiento lo que ha llevado al equipo liderado por Eva Miranda y Daniel Peralta, investigador del ICMAT, a lanzarse a la aventura matemática. Una aventura que ha logrado demostrar que no sólo es posible que la naturaleza compute, sino que lo hace.

Miranda afirma que "el sueño de Tao es terco. Las construcciones actuales, por brillantes que sean, todavía no producen blow-up. La puerta está abierta, pero todavía no ha sido franqueada. Y es aquí donde la historia se vuelve aún más emocionante: ahora, Google DeepMind, en colaboración con matemáticos de todo el mundo, ha puesto los ojos en este mismo problema, reconociéndolo como uno de los frentes más fascinantes de las matemáticas contemporáneas. La inteligencia artificial también se ha lanzado al ataque; de momento, el gran enigma sigue abierto.”

La pregunta que Penrose lanzó como una piedra en el estanque sigue expandiendo ondas. “Desde Barcelona, seguimos empujando los límites, porque en matemáticas, como en los fluidos, el movimiento nunca se detiene”, concluye Eva Miranda.

Pie de foto: La profesora Eva Miranda, de la Facultad de Matemáticas y Estadística (FME) de la UPC, e investigadora ICREA Academia